2017考研高等數(shù)學(xué)微分方程知識點(diǎn)詳解
有關(guān)微分方程的應(yīng)用題,首先是建立方程,這要根據(jù)題意,分析條件,搞清問題所涉及到的基本物理或幾何量的意義,并結(jié)合其他相關(guān)知識,通過邏輯推理等綜合手段,使問題得到解決.
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列方程,建立數(shù)學(xué)模型,是考查考生綜合應(yīng)用能力的重要方面,是考試的重點(diǎn)內(nèi)容之一,同時也是考生的難點(diǎn),考生要通過練習(xí),結(jié)合自己的實(shí)際,總結(jié)建立微分方程的步驟及注意事項(xiàng)(例如正負(fù)號的處理).
有些微分方程可能是數(shù)學(xué)問題中提供的,例如有的微分方程是由積分方程提出的,有的來自線積分與路徑無關(guān)的充要條件,或微分式子是某個原函數(shù)的全微分.此時應(yīng)轉(zhuǎn)化成微分方程來求解,同時還應(yīng)注意到所給條件中可能還提供了函數(shù)的某個函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值(即初始條件)等信息.
2.解方程
首先,應(yīng)掌握方程類型的判別,因?yàn)椴煌愋偷姆匠逃胁煌慕夥?,同一個方程,可能屬于多種不同的類型,則應(yīng)選擇較易求解的方法.對于一階方程,通常可按可分離變量的方程、齊次方程、一階線性方程、伯努利方程、全微分方程的順序進(jìn)行,特別是一階線性方程和伯努利方程還應(yīng)注意到有時可以以x為因變量,y為自變量得到,對于高階方程,一般可按線性方程、歐拉方程、高階可降階的方程進(jìn)行,
第二,是求解方程,不同類型的方程有不同的求解方法,應(yīng)該熟練掌握,典型方程可用固定的變量置換化簡并求解(如齊次方程、線性方程、伯努利方程、高階可降階方程、歐拉方程等),如用公式求解一階線性方程,則應(yīng)注意公式應(yīng)用的條件——方程應(yīng)化成標(biāo)準(zhǔn)形式,對于線性方程,應(yīng)搞清解的結(jié)構(gòu)理論及齊次線性常系數(shù)方程的特征方程及非齊次方程的特解的設(shè)定等.
第三,對于不屬于典型方程的方程,作變量代換是一個有效途徑,作什么樣的變量代換要結(jié)合具體方程的特點(diǎn)來考慮,一般以克服求解方程的困難為目標(biāo),選擇變量代換可采用試探方式,合適的、使方程得到化簡并順利求解的則采用,否則應(yīng)重新選擇,平時應(yīng)多練習(xí),這樣可以幫助你選擇合適的變量代換.
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