2018考研數(shù)學(xué)：從矩陣求方冪看命題老師的四板斧
一、找規(guī)律
矩陣求方冪一般求A的n次冪，這必然要找規(guī)律。所以可以說找規(guī)律是此類題的最根本的方法，后幾種類型本質(zhì)上也是根據(jù)矩陣的特征找規(guī)律。
找規(guī)律最基本的方法是計算A的平方、A的三次方總結(jié)規(guī)律。方法不難，但也考過真題，如1999年數(shù)三真題。
二、秩為1的矩陣
所謂秩為1的矩陣指非零矩陣且按行按列成比例的矩陣。這種矩陣能以獨特的方法找規(guī)律：
1.將矩陣分解成一列乘一行。
2.計算A的平方，A的三次方，總結(jié)規(guī)律。
3.按照規(guī)律寫出A的n次冪的表達(dá)式。
詳見1994年數(shù)一真題。
三、特殊的上三角或下三角
特殊的上三角矩陣指：主對角線元素相等的上三角矩陣。類似理解特殊的下三角矩陣。此種矩陣可按如下方法算方冪：
1.將該矩陣分解成一個數(shù)量陣和另一個矩陣的和，則A的n次冪等于A分解出的兩個矩陣的和的n次冪。
2.利用二項式定理。
四、有相似關(guān)系
已知兩個矩陣相似，求其中一個矩陣的n次冪。根據(jù)相似的定義，不難寫出兩個矩陣的等式關(guān)系。這就意味著一個矩陣能由另一個矩陣表示。進(jìn)而一個矩陣的n次冪若不好直接算，就可以利用這兩個矩陣的關(guān)系式，用另一個矩陣的n次冪表示(具體地，可以算A的平方、A的三次方找規(guī)律)。
至此，命題老師的四板斧用完了?？赡苡型瑢W(xué)說：“命題老師水平也不過如此嘛，我識別出這四招，相應(yīng)出招不就行了?”不可小瞧命題老師!請看2016年數(shù)一、二三這道真題。
已知A為一個數(shù)值型3階方陣(9個元素均已知)，求A的99次冪。
這里有個真實的故事:當(dāng)年考完結(jié)束后，我去上海出差，在高鐵上碰到了一位參加復(fù)試的同學(xué)。這位同學(xué)已通過了一所985高校的初試。我首先祝賀他高分通過初試，接著問他數(shù)學(xué)考得怎樣。他說：“別提了，我本打算數(shù)三考個一百三，結(jié)果只考了一百一十來分……”。 “哪個題感覺難?”“算99次冪的那個，開始沒思路，后來算著算著不敢寫了，數(shù)太大了……”
能給這位實力考生來個下馬威，命題老師的四板斧不簡單!
這個題屬于求方冪的題。功底扎實并總結(jié)了題型的考生懂得按照題型排除：是否為找規(guī)律的?算個平方試試，感覺不可行。是否為秩為1的矩陣?已知矩陣不是按行按列成比例的，所以也不行。至于能用二項式定理算方冪，那得是特殊的上三角和下三角!而本題也不符合。只剩最后一種可能了：利用相似算方冪。
如果知道矩陣的相似關(guān)系，那本題就屬于簡單題。但本題沒有告訴相似關(guān)系，所以難度陡然上升!不過仍有少數(shù)考生“真金不怕火煉”，想到考慮這個矩陣能否與對角矩陣相似，如果可以，那求出可逆陣和對角陣，進(jìn)而利用相似算方冪……我似乎看到了命題老師露出了滿意的微笑。
至此，我們對命題老師的四板斧有了大致的了解：若題型屬于歷年真題中的常規(guī)題型，且有提示條件，那就是常規(guī)招數(shù);若屬于歷年真題中的常規(guī)題型，但無提示條件，那就是大招，需要考生主動創(chuàng)造條件，解決問題!
(跨考教育數(shù)學(xué)教研室 劉瑋宇)
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