【跨考名師輔導(dǎo)】疑點(diǎn)解析：排列組合中的“分房”問(wèn)題

　　在今年的教學(xué)中，仍然發(fā)現(xiàn)排列組合是很多同學(xué)的疑難點(diǎn)，這部分內(nèi)容在理解上容易出現(xiàn)偏差。很多文科生在高中階段沒(méi)接觸過(guò)這部分內(nèi)容;有些地區(qū)高考對(duì)于排列組合的考查要求很低，導(dǎo)致很多考生在此的基礎(chǔ)十分薄弱;最直接的表現(xiàn)的表現(xiàn)就是對(duì)一類(lèi)問(wèn)題從邏輯上理解有偏差，而這些“想當(dāng)然”的理解乍一聽(tīng)還有些道理，學(xué)生便以此作為依據(jù)在這個(gè)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)上自恰，形成了一些根深蒂固的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。比如今天要探討的“分房”問(wèn)題。

　　分房問(wèn)題是排列組合里分派問(wèn)題中的一種，需要用乘法原理解決。先看題目背景：將n個(gè)人等可能的任意分到m個(gè)房間里的分派種數(shù)。使用條件：(1)人不同;(2)房間不同;(3)任意分(房間可以重復(fù)使用)。解法是用分步乘法原理，讓n個(gè)人分為n步依次選擇房間，每個(gè)人都可選m個(gè)房間中的一種，有m種選法，共有種方法。先解釋使用條件：(1)人不同;若人相同，事實(shí)上人選哪個(gè)房間是沒(méi)有區(qū)別的，會(huì)產(chǎn)生大量重復(fù)情況;(2)房間不同;若房間相同，這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上成了把n個(gè)人分成了m個(gè)組，每組人任選，就成了分組問(wèn)題;(3)任意分(房間可以重復(fù)使用);若每個(gè)房間只能被選一次，在下一步里人可選擇的房間將變少，不再是m種選法。

　　來(lái)看這個(gè)典型問(wèn)題：10個(gè)人分到8個(gè)房間入住，每間房可入住多人，有多少種住法?答案是。因?yàn)榧?、乙、丙、?hellip;…這10個(gè)人要住進(jìn)A，B，C，D……這8間房，甲可以有8種選擇，乙有8種選擇，丙有8種選擇……

　　有同學(xué)問(wèn)，為什么不是呢?按照這個(gè)同學(xué)的思路，房子A選人，有10種選擇;房子B選人，有10種選擇;房子C選人，有10種選擇……一共有種方法。這種想法乍一看有點(diǎn)道理，其實(shí)經(jīng)不起邏輯上的推敲。如果房子A選人，有10種選擇，假如選了甲，因?yàn)槿酥荒鼙贿x一次，或者說(shuō)一個(gè)人不可能同時(shí)入住兩個(gè)房間，所以在下一步房子B選人，有10種選擇是不可能的，必然小于10種選擇。有同學(xué)又說(shuō)，那就不重復(fù)選人：房子A選人，有10種選擇;房子B選人，有9種選擇;房子C選人，有8種選擇……顯然，這題就被曲解成了10個(gè)人入住8個(gè)房間，每個(gè)房間至少有一人入住，有多少種分派方法?這種問(wèn)題要用分組再分配的方法解決。

　　這類(lèi)問(wèn)題，我們把其中的元素分為兩類(lèi)：可重復(fù)元素和不可重復(fù)元素?？芍貜?fù)元素例如分房問(wèn)題里的房，下車(chē)問(wèn)題里的車(chē)站等，稱(chēng)為“店”;不可重復(fù)元素比如分房問(wèn)題里的人，下車(chē)問(wèn)題里的人等，稱(chēng)為“客”。計(jì)算結(jié)果簡(jiǎn)記為()這樣一種指數(shù)形式。大家只需判斷出誰(shuí)是“店”，將其個(gè)數(shù)放在底數(shù)位置，另一個(gè)元素放在指數(shù)位置即可。

　　思考下面這個(gè)問(wèn)題，5名學(xué)生爭(zhēng)奪三項(xiàng)比賽冠軍，獲得冠軍的可能情況有多少種?答案是，這題非常易錯(cuò)，很多同學(xué)把規(guī)律用死了，認(rèn)為人一定是“客”，于是客選獎(jiǎng)，為。假如所有人都選一種獎(jiǎng)，而一種獎(jiǎng)只能由一個(gè)人獲得，顯然是錯(cuò)的。這里一個(gè)人是可以獲得多個(gè)獎(jiǎng)的，可重復(fù)，因此看做店，獎(jiǎng)項(xiàng)不可重復(fù)獲得，看作客，因此是。

　　(本文為跨考教育教研室鄭良聰老師原創(chuàng)，轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明出處。)