2020年考研大綱解析之?dāng)?shù)學(xué)（一）高數(shù)命題點(diǎn)

復(fù)習(xí)緊張，焦頭爛額？逆風(fēng)輕襲，來(lái)跨考秋季集訓(xùn)營(yíng)，幫你尋方法，定方案！ 了解一下>>

　　一年一度的考研大綱如期而至，你做好準(zhǔn)備了嗎?考研大綱的出爐代表著考研已經(jīng)進(jìn)入到全面復(fù)習(xí)階段。但是同學(xué)們對(duì)考研的命題思路有所了解嗎?知道側(cè)重于哪些章節(jié)出題，出什么樣的類(lèi)型題嗎?下面一起根據(jù)考研大綱來(lái)分析下高數(shù)的命題點(diǎn)。

　　我們?cè)诳纯佳写缶V時(shí)最重點(diǎn)的是關(guān)注考題類(lèi)型，考試內(nèi)容及考試要求。考題類(lèi)型說(shuō)明了考題的形式及題目數(shù)，考試內(nèi)容羅列了具體的章節(jié)及知識(shí)點(diǎn)，相當(dāng)于在劃分考試范圍，考試要求會(huì)明確寫(xiě)出每個(gè)知識(shí)點(diǎn)要掌握到什么程度，這些對(duì)我們才是最有用的。

　　首先要明確高數(shù)的考題類(lèi)型為4道選擇、4道填空和5道大題。

　　對(duì)于考試內(nèi)容，數(shù)學(xué)一會(huì)考查第一章函數(shù)、極限、連續(xù)，第二章一元函數(shù)微分學(xué)，第三章一元函數(shù)積分學(xué)，第四章向量代數(shù)和空間解析幾何，第五章多元函數(shù)微分學(xué)，第六章多元函數(shù)積分學(xué)，第七章無(wú)窮級(jí)數(shù)，第八章常微分方程這八章的內(nèi)容。當(dāng)然在大綱中會(huì)有具體的知識(shí)點(diǎn)羅列。

　　在考試要求中，會(huì)分為如下幾等：了解、理解、掌握、會(huì)用。這四個(gè)等級(jí)的重要程度依次遞增，也可以根據(jù)這幾個(gè)名詞的使用來(lái)判斷知識(shí)點(diǎn)的重要程度及考試頻率等。

　　下面我么分章節(jié)列出考試內(nèi)容及要求，供大家分析：

　　第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)

　　考試內(nèi)容

　　函數(shù)的概念及表示法函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形初等函數(shù)函數(shù)關(guān)系的建立。數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)函數(shù)的左極限和右極限無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念及其關(guān)系無(wú)窮小量的性質(zhì)及無(wú)窮小量的比較極限的四則運(yùn)算極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限：函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型初等函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

　　考試要求

　　1.理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系

　　2.了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性

　　3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念

　　4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念

　　5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左極限、右極限之間的關(guān)系

　　6.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則

　　7.掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法

　　8.理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小量求極限

　　9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù))，會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型

　　10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)

　　第二章 一元函數(shù)微分學(xué)：

　　考試內(nèi)容

　　導(dǎo)數(shù)和微分的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系平面曲線的切線和法線導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法高階導(dǎo)數(shù)一階微分形式的不變性微分中值定理洛必達(dá)(L'Hospital)法則函數(shù)單調(diào)性的判別函數(shù)的極值函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線函數(shù)圖形的描繪函數(shù)的最大值與最小值弧微分曲率的概念曲率圓與曲率半徑

　　考試要求

　　1.理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系

　　2.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分

　　3.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).

　　4.會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

　　5.理解并會(huì)用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并會(huì)用柯西(Cauchy)中值定理.

　　6.掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法.

　　7.理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用.

　　8.會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性(注：在區(qū)間內(nèi)，設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù).當(dāng)時(shí)，的圖形是凹的;當(dāng)時(shí)，的圖形是凸的)，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形.

　　9.了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑

　　第三章 一元函數(shù)積分學(xué)：

　　考試內(nèi)容

　　原函數(shù)和不定積分的概念 不定積分的基本性質(zhì) 基本積分公式 定積分的概念和基本性質(zhì) 定積分中值定理 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法 有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分 反常(廣義)積分 定積分的應(yīng)用

　　考試要求

　　1.理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念.

　　2.掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法.

　　3.會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分.

　　4.理解積分上限的函數(shù)，會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茨公式.

　　5.了解反常積分的概念，會(huì)計(jì)算反常積分.

　　6.掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質(zhì)心、形心等)及函數(shù)的平均值.

　　第四章 向量代數(shù)和空間解析幾何：

　　考試內(nèi)容

　　向量的概念向量的線性運(yùn)算向量的數(shù)量積和向量積向量的混合積兩向量垂直、平行的條件兩向量的夾角向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算單位向量方向數(shù)與方向余弦曲面方程和空間曲線方程的概念平面方程直線方程平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離球面柱面旋轉(zhuǎn)曲面常用的二次曲面方程及其圖形空間曲線的參數(shù)方程和一般方程空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程

　　考試要求

　　1.理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示

　　2.掌握向量的運(yùn)算(線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積)，了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件

　　3.理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法

　　4.掌握平面方程和直線方程及其求法

　　5.會(huì)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系(平行、垂直、相交等))解決有關(guān)問(wèn)題

　　6.會(huì)求點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離

　　7.了解曲面方程和空間曲線方程的概念

　　8.了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求簡(jiǎn)單的柱面和旋轉(zhuǎn)曲面的方程

　　9.了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求該投影曲線的方程

　　第五章 多元函數(shù)微分學(xué)：

　　考試內(nèi)容

　　多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分全微分存在的必要條件和充分條件 多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法二階偏導(dǎo)數(shù)方向?qū)?shù)和梯度空間曲線的切線和法平面曲面的切平面和法線二元函數(shù)的二階泰勒公式多元函數(shù)的極值和條件極值多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡(jiǎn)單應(yīng)用

　　考試要求

　　1.理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義

　　2.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

　　3.理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性

　　4.理解方向?qū)?shù)與梯度的概念，并掌握其計(jì)算方法

　　5.掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法

　　6.了解隱函數(shù)存在定理，會(huì)求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

　　7.了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程

　　8.了解二元函數(shù)的二階泰勒公式

　　9.理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題

　　第六章 多元函數(shù)積分學(xué)：

　　考試內(nèi)容

　　二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用兩類(lèi)曲線積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算兩類(lèi)曲線積分的關(guān)系格林(Green)公式平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件二元函數(shù)全微分的原函數(shù)兩類(lèi)曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系高斯(Gauss)公式斯托克斯(Stokes)公式散度、旋度的概念及計(jì)算曲線積分和曲面積分的應(yīng)用

　　考試要求

　　1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，，了解二重積分的中值定理

　　2.掌握二重積分的計(jì)算方法(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo))，會(huì)計(jì)算三重積分(直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo))

　　3.理解兩類(lèi)曲線積分的概念，了解兩類(lèi)曲線積分的性質(zhì)及兩類(lèi)曲線積分的關(guān)系

　　4.掌握計(jì)算兩類(lèi)曲線積分的方法

　　5.掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，會(huì)求二元函數(shù)全微分的原函數(shù)

　　6.了解兩類(lèi)曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系，掌握計(jì)算兩類(lèi)曲面積分的方法，掌握用高斯公式計(jì)算曲面積分的方法，并會(huì)用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分

　　7.了解散度與旋度的概念，并會(huì)計(jì)算

　　8.會(huì)用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長(zhǎng)、質(zhì)量、質(zhì)心、形心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功及流量等)

　　第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù)：

　　考試內(nèi)容

　　常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念收斂級(jí)數(shù)的和的概念級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件幾何級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)及其收斂性正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間(指開(kāi)區(qū)間)和收斂域冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式函數(shù)的傅里葉(Fourier)系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)狄利克雷(Dirichlet)定理函數(shù)在上的傅里葉級(jí)數(shù)函數(shù)在上的正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)

　　考試要求

　　1.理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件

　　2.掌握幾何級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件

　　3.掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法

　　4.掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法

　　5.了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系

　　6.了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念

　　7.理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法

　　8.了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分)，會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和

　　9.了解函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件

　　10.掌握，，，及的麥克勞林(Maclaurin)展開(kāi)式，會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)

　　11.了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會(huì)將定義在上的函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在上的函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫(xiě)出傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)的表達(dá)式

　　第八章 常微分方程：

　　考試內(nèi)容

　　常微分方程的基本概念變量可分離的微分方程齊次微分方程一階線性微分方程伯努利(Bernoulli)方程全微分方程可用簡(jiǎn)單的變量代換求解的某些微分方程可降階的高階微分方程線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理二階常系數(shù)齊次線性微分方程高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程簡(jiǎn)單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程歐拉(Euler)方程微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用

　　考試要求

　　1.了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念

　　2.掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法

　　3.會(huì)解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程

　　4.會(huì)用降階法解下列形式的微分方程

　　5.理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)

　　6.掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程

　　7.會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

　　8.會(huì)解歐拉方程

　　9.會(huì)用微分方程解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題

　　以上是結(jié)合考研大綱對(duì)各章命題點(diǎn)的分析，同學(xué)們?cè)谧稣骖}的過(guò)程中要注重總結(jié)題型和方法，反復(fù)做真題，一定會(huì)有預(yù)期的收獲，加油!

　　(本文為跨考教育教研室高楊老師原創(chuàng)，轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明出處。)