【名師輔導(dǎo)】2021考研管綜數(shù)學(xué)絕對(duì)值的和函數(shù)精講

　　形如y=|x-a|+|x-b|的函數(shù)，我們稱(chēng)之為絕對(duì)值的和函數(shù)，它的幾何意義就是x到數(shù)軸上兩點(diǎn)a和b的距離和，隨著x向數(shù)軸兩端取值，這個(gè)函數(shù)的值會(huì)越來(lái)越大，且沒(méi)有最大值。當(dāng)在x在a和b之間(包括端點(diǎn))取值，y值沒(méi)有變化，這個(gè)時(shí)候取得最小值|a-b|。我們下面以函數(shù)y=|x-a|+|x-b|為基礎(chǔ)進(jìn)行變形，來(lái)得到新的絕對(duì)值函數(shù)。

　　首先我們?cè)黾右幌陆^對(duì)值的數(shù)量，令y=|x-a|+|x-b|+|x-c|，幾何意義變成了x到三個(gè)點(diǎn)的距離和，沒(méi)有本質(zhì)的變化，仍然是取不到最大值，但是最小值有了變化。之前兩個(gè)點(diǎn)的時(shí)候，只要在兩點(diǎn)之間取值就可以取得最小值，三個(gè)點(diǎn)情況變得復(fù)雜了一點(diǎn)，我們令，這樣b點(diǎn)是在其他兩點(diǎn)的中間，我們讓x在a,c兩點(diǎn)之間取值，這樣x到這兩點(diǎn)的距離和是固定的也是最小的，那么接下來(lái)我們只要讓x到b點(diǎn)的距離越小越好，顯然這兩點(diǎn)重合的時(shí)候最小，也就是說(shuō)x=b時(shí)y取得最小值，也即是三個(gè)絕對(duì)值的函數(shù)當(dāng)x取中間那個(gè)數(shù)的時(shí)候y取得最小值。同樣的方法，我們令絕對(duì)值的數(shù)量進(jìn)一步增加到n個(gè)的時(shí)候，函數(shù)變成

　　，我們只要將這n個(gè)點(diǎn)從小到大排序，如果n為奇數(shù)，那x取中間的那個(gè)點(diǎn)的值就可以讓y取得最小值;如果n為偶數(shù)，那x在中間的兩個(gè)點(diǎn)之間取值就可以讓y取得最小值，特別的，如果中間兩個(gè)點(diǎn)相等，那x的取值也只是一個(gè)，并不是一個(gè)范圍。

　　第二我們改變一下x的系數(shù)，令y=|2x-a|+|2x-b|，發(fā)現(xiàn)如果所有x的系數(shù)都相同的話(huà)，并沒(méi)有什么影響，因?yàn)榭梢栽O(shè)k=2x，那么函數(shù)變成y=|k-a|+|k-b|，和y=|x-a|+|x-b|的表現(xiàn)形式相同，求最值的方法也相同。但是如果我們只改變其中一個(gè)系數(shù)，情況就不同，比如我們可以y=|2x-a|+|x-b|，這個(gè)時(shí)候它的幾何意義變成2x到a的距離與x到b的距離和，那這樣的函數(shù)我們?nèi)绾吻笞钪的?其實(shí)也很簡(jiǎn)單，我們只要把絕對(duì)值拆開(kāi)就可以了，具體如下

　　，這樣就變成了我們已經(jīng)解決過(guò)的第一類(lèi)問(wèn)題了，再進(jìn)一步進(jìn)行拓展y=|mx-a|+|nx-b|，只要把x的系數(shù)統(tǒng)一成一樣的就可以，所以就算m和n互質(zhì)也沒(méi)關(guān)系，甚至可以是分?jǐn)?shù)。

　　綜上我們?cè)儆龅浇^對(duì)值和函數(shù)的問(wèn)題就能輕松的解決，無(wú)論是絕對(duì)值數(shù)量多，還是x的系數(shù)不統(tǒng)一，都不再是我們解決問(wèn)題的障礙，通過(guò)簡(jiǎn)單的變形都能很容易的找到令函數(shù)取得最小值的自變量取值范圍以及最小值。

　　(本文為跨考教育教研室梁軼群老師原創(chuàng)，轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明出處。)